Vectors

• Usually written as $\overrightarrow{\text{a}}$ or in bold a
• Or using start and end points $\overrightarrow{\text{AB}}$ = B - A
• Direction and length
• No absolute starting position

Vector Normalization

• Magnitude (length) of a vector written as $\lVert{\overrightarrow{\text{a}}}\rVert$
• Unit vector
  • A vector with magnitude of 1
  • Finding the unit vector of a vector (normalization): $\hat{a}$ = $\frac{\overrightarrow{\text{a}}}{\lVert{\overrightarrow{\text{a}}}\rVert}$
• Used to represent directions

Vector Addition

• Geometrically: Parallelogram law & Triangle law
• Algebraically: Simply add coordinates

Cartesian Coordinates

• X and Y can be any (usually orthogonal unit) vectors

在图形学，给定一个向量，一般默认是列向量，比如 A = $\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$，可以通过互换转化为行向量 $A^T$ = $\left(\begin{matrix}x & y\end{matrix}\right)$。把向量表示成直角坐标系的代数形式，一个好处是很容易计算它的长度。向量的长度 $\lVert{A}\rVert$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$。

Vector Multiplication

Dot (scalar) Product

向量点乘的定义为：${\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{b}}}$ = ${\lVert{\overrightarrow{\text{a}}}\rVert}{\lVert{\overrightarrow{\text{b}}}\rVert}{\cos{\theta}}$，由此可看出，两个向量点乘的结果是一个数。而向量点乘的一个运用是快速计算两个向量之间的夹角：$\cos{\theta} = \frac{{\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{b}}}}{{\lVert{\overrightarrow{\text{a}}}\rVert}{\lVert{\overrightarrow{\text{b}}}\rVert}}$。特别的，如果两个向量都是单位向量，则它们的点乘结果就是它们之间夹角的余弦：$\cos{\theta} = \hat{a}\cdot\hat{b}$。

点乘的性质：

• 交换律：${\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{b}}} = {\overrightarrow{\text{b}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{a}}}$
• 结合律：${\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}(\overrightarrow{\text{b}} + \overrightarrow{\text{c}}) = {\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{b}}} + {\overrightarrow{\text{a}}}{\cdot}{\overrightarrow{\text{c}}}$
• 分配律：$(k\overrightarrow{\text{a}})\cdot\overrightarrow{\text{b}} = \overrightarrow{\text{a}}\cdot(k\overrightarrow{\text{b}}) = k(\overrightarrow{\text{a}}\cdot\overrightarrow{\text{b}})$

二维坐标系中的点乘：

• $\overrightarrow{\text{a}}\cdot\overrightarrow{\text{b}} = \left(\begin{matrix}x_a\\y_a\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}x_b\\y_b\end{matrix}\right) = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b}$

三维坐标系中的点乘：

• $\overrightarrow{\text{a}}\cdot\overrightarrow{\text{b}} = \left(\begin{matrix}x_a\\y_a\\z_a\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}x_b\\y_b\\z_b\end{matrix}\right) = x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b}$

点乘在图形学中可用于计算一个向量相对于另一个向量的投影(projection)

我们定义 $\overrightarrow{\text{b}}_{\bot}$ 为 $\overrightarrow{\text{b}}$ 在 $\overrightarrow{\text{a}}$ 上的投影，其中：

• $\overrightarrow{\text{b}}_{\bot}$ 跟 $\overrightarrow{\text{a}}$ 同方向，即 $\overrightarrow{\text{b}}_{\bot}$ = k$\hat{a}$
• $k = \lVert{\overrightarrow{\text{b}}_{\bot}}\rVert = \lVert{\overrightarrow{\text{b}}}\rVert\cos{\theta}$

向量的投影可以分解一个向量，比如 $\overrightarrow{\text{b}}$ 可以分解为相互垂直的 $\overrightarrow{\text{b}}_{\bot}$ 和 $\overrightarrow{\text{b}} - \overrightarrow{\text{b}}_{\bot}$。

点乘还可以用来判断前后的方向关系：如图七，假如以与 $\overrightarrow{\text{a}}$ 垂直的平面为界限，平面往上表示前面 (forward)，向下表示后面 (backward)。则当某向量与 $\overrightarrow{\text{a}}$ 做点乘如果大于 0，则表示在前面，如 $\overrightarrow{\text{b}}$；如果小于 0，则表示在后面，如 $\overrightarrow{\text{c}}$；如果等于 0，则刚好在平面上。

同样的道理，点乘还可以判断两个向量在方向上有多接近。比如图七，$\overrightarrow{\text{b}}$ 与 $\overrightarrow{\text{a}}$ 比较接近，点乘的结果会接近 1；如果方向远离 $\overrightarrow{\text{a}}$，则跟 $\overrightarrow{\text{a}}$ 点乘的结果会变小，当方向完全跟 $\overrightarrow{\text{a}}$ 相反时，点乘的结果为 -1。

Cross product

• Cross product is orthogonal to two initial vectors
• Direction determined by right-hand rule
• Useful in constructing coordinate systems (later)

两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的叉积 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 的结果是一个新的向量，该向量垂直于 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所在的平面，其方向由右手定则确定。如图九，$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 产生的新向量的方向的确认方法为：伸出右手，食指指向 $\overrightarrow{a}$，中指指向 $\overrightarrow{b}$，大拇指与食指和中指所在平面垂直，则大拇指方向为 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 的方向。同样的，也有相对应的左手定则；不过为了方便，该课程讨论的坐标系均以右手定则为基准，即在三维坐标系中，如果 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所在平面为 xy 平面，则 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 指向 z 轴正方向。

根据右手定则，$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$，因为两者方向正好相反，因此叉积不满足交换律，但是有这样的运算关系：$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$。

叉积的性质：

• $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$
• $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$
• $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}$
• $\overrightarrow{a} \times (k\overrightarrow{b}) = k(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$

叉积用代数来表示：

• $\overrightarrow{a} = (x_a, y_a, z_a)$
• $\overrightarrow{b} = (x_b, y_b, z_b)$
• $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \left(\begin{matrix}y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a}\\z_{a}x_{b}-x_{a}z_{b}\\x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b}\end{matrix}\right)$

叉积可以用来判断两个向量的左右关系。如图十，假设 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所在平面为 xy 平面，我们可以看到 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的左边，这个在数字上应该怎么表示呢？我们只需要看 $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 的结果即可。在这个例子里，结果是正的（$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 跟 z 轴正方向一致），因此 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 的左边。如果反过来看，$\overrightarrow{a}$ 是不是在 $\overrightarrow{b}$ 的右边呢？计算 $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$ 可知结果是负的（$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}$ 跟 z 轴负/反方向一致），因此 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 的右边。

叉积还可以用来判断内外的关系。这一点在图形学里有相当广泛的应用，比如说：给定一个三角形 ABC 和一点 P，判断 P 是否在三角形内部。

以图十一举例，我们假设三角形 ABC 由三个向量 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ 和 $\overrightarrow{CA}$ 构成。由 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}$ 的结果可知，$\overrightarrow{AP}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 的左侧，即 P 在 $\overrightarrow{AB}$ 的左侧；同理得知 P 也在 $\overrightarrow{BC}$ 和 $\overrightarrow{CA}$ 的左侧；因此 P 在三角形 ABC 内。即 P 要在三角形内的话，则 P 需要在三角形每条首尾相连组成的向量（逆时针或顺时针）的同一侧，否则 P 在三角形外。

用向量的叉乘可以定义一些互相垂直的轴，这些轴可以形成一个坐标系。比如定义 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{w}$ 三个单位向量，且这三个单位向量两两之间相互垂直。则它们有这些关系：

• $\lVert{\overrightarrow{u}}\rVert = \lVert{\overrightarrow{v}}\rVert = \lVert{\overrightarrow{w}}\rVert = 1$
• $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} = 0$
• $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}$ (right-handed)

这样就可以把三维坐标系上的任意向量 $\overrightarrow{p}$ 分解到这 3 个轴上。

$\overrightarrow{p}$ 在 u 轴上的投影 $\overrightarrow{p}_{\bot(u)} = \lVert{\overrightarrow{p}_{\bot(u)}}\rVert\overrightarrow{u} = \lVert{\overrightarrow{p}}\rVert\cos{\theta}\overrightarrow{u}$。根据点乘的定义 $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{u} = \lVert{\overrightarrow{p}}\rVert\lVert{\overrightarrow{u}}\rVert\cos{\theta}$，因为 $\overrightarrow{u}$ 是单位向量，所以 $\lVert{\overrightarrow{u}}\rVert = 1$，所以 $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{u} = \lVert{\overrightarrow{p}}\rVert\cos{\theta}$，所以 $\overrightarrow{p}_{\bot(u)} = (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{u})\overrightarrow{u}$。

类似地，$\overrightarrow{p}$ 在 v 轴上的投影 $\overrightarrow{p}_{\bot(v)} = (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{v})\overrightarrow{v}$；$\overrightarrow{p}$ 在 w 轴上的投影 $\overrightarrow{p}_{\bot(w)} = (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{w})\overrightarrow{w}$。

则根据向量加法得 $\overrightarrow{p} = (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{u})\overrightarrow{u} + (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{v})\overrightarrow{v} + (\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{w})\overrightarrow{w}$。