我们前面所学的各种变换的目的，就是要把三维的物体变成一张照片。而给定一个三维场景，如果从不同方向看，看到的画面是不一样的。这跟我们真实生活中用相机拍照是类似的。而用相机拍照通常需要经过这三个步骤：

• 找一个好地方并安排好被拍的人或物（Model transformation）
• 找一个合适的位置和角度摆放好相机（View transformation）
• “茄子”（Projection transformation）

其中摆放相机这个步骤就是我们所说的视图变换（View transformation），这三个步骤对应到图形学中是完全一样的，简称为 MVP 变换。而确定一个相机，需要确定三个变量：

• 位置（Position）：用 $\overrightarrow{e}$ 表示。
• 朝向（Look-at/gaze direction）：用 $\hat{g}$ 表示方向。
• Y 轴朝向（Up direction）：用 $\hat{t}$ 表示方向。确定位置和朝向后，可以通过旋转相机控制 Y 轴朝向，同时该轴要跟 Look-at 垂直。

图一：相机的视图变换

通常我们为了简化计算，会把相机固定在原点 (0, 0, 0) 的位置，同时使 Up-direction 对应 $y$ 轴，Look-at 朝向 $z$ 轴负方向（也就是 $-z$ 方向）：

图二：相机在三维坐标中的定义

如果相机不在原点，那我们需要先把相机转换到原点后才能继续后面的操作。而要使相机转换前后所拍摄到的场景保持不变，根据相对运动，我们需要把整个场景都做相应的转换。相机的转换对应到数学中分为以下几个过程：

• 把代表位置的 $\overrightarrow{e}$ 平移到原点
• 把朝向 $\hat{g}$ 旋转到 $-z$ 方向
• 把代表 Up-direction 的 $\hat{t}$ 旋转到 $y$ 轴
• 而 $g \times t$ 的方向自然也就对应到 $x$ 轴

图三：相机坐标转换

我们记整个场景转换到原点的变换为 $M_{view}$，则有：

• $M_{view} = R_{view}T_{view}$

注意这里顺序是先执行右边的平移变换 $T_{view}$，再执行旋转变换 $R_{view}$。我们很容易得出齐次坐标下平移变换的矩阵：

• $T_{view} = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -x_e\\0 & 1 & 0 & -y_e\\0 & 0 & 1 & -z_e\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

而旋转矩阵 $R_{view}$ 要做的事情是把 $\hat{g}$ 方向旋转到 $-z$ 轴，把 $\hat{t}$ 方向旋转到 $y$ 轴，把 $g \times t$ 方向旋转到 $x$ 轴。直接求解 $R_{view}$ 不太好求，但如果把这个过程反过来，那就是把 $x$ 轴旋转到 $g \times t$ 方向，把 $y$ 轴旋转到 $\hat{t}$ 方向，把 $z$ 轴旋转到 $-\hat{g}$ 方向（这里不理解可以动笔画一画）。这个反过程的旋转矩阵是很好求解的，我们假设 $x$ 轴上的向量 $X = (1, 0, 0)$ 经过旋转矩阵 $R_i$ 的变换后落在 $g \times t$ 方向上，假设是 $X_{g \times t} = (x_{g \times t}, y_{g \times t}, z_{g \times t})$，也就是 $X_{g \times t} = R_iX$。我们很容易得出它们在齐次坐标下的表示：

• $\left[\begin{matrix}x_{g \times t}\\y_{g \times t}\\z_{g \times t}\\0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}x_{g \times t} & ? & ? & 0\\y_{g \times t} & ? & ? & 0\\ z_{g \times t} & ? & ? & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}\right]$

同样的，我们假设 $y$ 轴上的向量 $Y = (0, 1, 0)$ 经过旋转矩阵 $R_i$ 的变换后落在 $\hat{t}$ 方向上，假设是 $Y_t = (x_t, y_t, z_t)$，也就是 $Y_t = R_iY$。它们在齐次坐标下的表示是：

• $\left[\begin{matrix}x_t\\ y_t\\ z_t\\0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}? & x_t & ? & 0\\? & y_t & ? & 0\\? & z_t & ? & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0\\1\\0\\0\end{matrix}\right]$

最后，我们假设 $z$ 轴上的向量 $Z = (0, 0, 1)$ 经过旋转矩阵 $R_i$ 的变换后落在 $-\hat{g}$ 方向上，假设是 $Z_{-g} = (x_{-g}, y_{-g}, z_{-g})$，也就是 $Z_{-g} = R_iZ$。它们在齐次坐标下的表示是：

• $\left[\begin{matrix}x_{-g}\\ y_{-g}\\ z_{-g}\\0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}? & ? & x_{-g} & 0\\? & ? & y_{-g} & 0\\? & ? & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0\\0\\1\\0\end{matrix}\right]$

因为 $R_i$ 要同时满足三个轴上的变换，所以有：

• $R_i = \left[\begin{matrix}x_{g \times t} & x_t & x_{-g} & 0\\y_{g \times t} & y_t & y_{-g} & 0\\ z_{g \times t} & z_t & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

$R_i$ 的这个推导包含了我自己的理解，如果后面发现有错误再修正。我们知道 $R_{view}$ 是 $R_i$ 的反向（逆向）旋转，而从 2D transformations 中关于旋转那块描述我们知道，旋转矩阵是正交矩阵，因此 $R_{view} = {R_i}^{-1} = {R_i}^T$。所以求解出：

• $R_{view} = \left[\begin{matrix}x_{g \times t} & y_{g \times t} & z_{g \times t} & 0\\ x_t & y_t & z_t & 0\\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

所以有：

• $M_{view} = R_{view}T_{view} = \left[\begin{matrix}x_{g \times t} & y_{g \times t} & z_{g \times t} & 0\\ x_t & y_t & z_t & 0\\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -x_e\\0 & 1 & 0 & -y_e\\0 & 0 & 1 & -z_e\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$